Kamis, 24 Mei 2012

Bilangan Real


1.1              Bilangan Asli
Pengertian
Misalkan terdapat sebuah himpunan, yaitu himpunan A yang terdiri dari bilangan bulat positif kurang dari lima, maka himpunan itu beranggotakan bilangan 1, 2, 3, dan 4. Ada nama yang khusus untuk bilangan bulat positif itu, yaitu bilangan asli (natural numbers). Maka istilah bilangan bulat positif dapatlah kita ganti dengan istilah bilangan asli. Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan asli merupakan bilangan bulat positif, dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Lambang Bilangan dan Bilangan
Lambang bilangan adalah lambang yang menyatakan bilangan. Kita mengenal bermacam-macam lambang atau symbol, misalnya tanda sama dengan, tanda kurang, tanda tambah, tanda kali, tanda bagi, tanda lebih besar, dan tanda lebih kecil. Perkataan juga termasuk lambing, yaitu serangkaian bunyi atau huruf yang menyatakan objek, pikiran, atau perasaan. Lambang atau symbol adalah tanda, isarat, sasaran atau alamat.
Sebuah bilangan dinyatakan oleh satu atau beberapa lambang bilangan. Bilangan 127, misalnya, terdiri atas lambang bilangan 1, 2, dan 7. Lambang bilangan 1 disini berarti 100, 2 menyatakan 20, sedang 7 menyatakan 7 yang sesungguhnya.
Sifat Dasar
Ada lima sifat dasar terhadap proses penjumlahan dan pengalian:
1.      Sifat dasar tertutup
Contoh:
5+2 = 7, 7 merupakan anggota N
5x2 = 10, 10 merupakan anggota N
2.      Sifat dasar komutasi
Contoh:
3+1 = 1+3
4 = 4
3x1 = 1x3
3 = 3
3.      Sifat dasar asosiasi
 Contoh:
2+(3+1) = (2+3)+1
6 = 6
2(3x1) = (2x3)x1
6 = 6
4.      Sifat dasar distribusi perkalian terhadap penjumlahan
 Contoh:
3(2+5) = 3x2 + 3x5
21 = 6 + 15
21 = 21
5.      Sifat dasar identitas terhadap perkalian
 Contoh:
2x1 = 2
3x1 = 3
4x1 = 4

Penambahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian
      Himpunan bilangan asli adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. Dibawah ini akan ditunjukkan, bahwa bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
Ambillah misalnya 5 dan 3 dari N = {1, 2, 3, 4, 5,…}. 5 – 3 = 2 dan 2 anggota N, tetapi selisih 3 – 5 bukan anggota N. demikian pula hasil bagi 3 : 5 bukan anggota N, tetapi 4 : 2 = 2 dan 2 anggota N.
Jadi, selisih atau hasil bagi anggota himpunan N bisa merupakan anggota, bisa juga bukan anngota N.

Ketaksamaan dan Pertaksamaan
Kita katakan 10 lebih besar atau lebih dari pada 7, dan sebaliknya, 7 lebih sedikit atau kurang dari pada 10, atau 10 lebih 3 dari pada 7. Jika bilangan yang sama dihubungkan dengan tanda =, maka untuk menyatakan ketaksamaan antara bilangan digunakan tanda > dan <; misalnya, 10 > 7 dan 7 < 10.

2.2 Bilangan Bulat    
Jika ke dalam himpunan bilangan asli dimasukkan bilangan nol (lambang nya 0), akan terjadi himpunan bilangan baru, yang kita sebut himpunan bilangan cacah. Selanjutnya, jika ke dalam himpunan bilangan cacah ini dimasukkan bilangan asli yang bertanda -, akan terjadilah himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan bulat.

Faktor, Bilangan Komposit, dan Bilangan Prima
Jika a, b, dan c bilangan bulat, dan a.b = c, maka a dan b disebut faktor c, atau pembagi c, sedangkan c disebut kelipatan a atau b. Jadi, 1, 2, 3, 5, 6, 5, dan 30 adalah faktor 30. Bilangan bulat dengan bilangan 2 sebagai salah satu faktornya dinamai bilangan bulat genap. Bilangan bulat  genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k adalah bilangan bulat, misalnya, 6 = 2.3;  -14 = 2 . -7; dan 120 = 2.60.
Dengan demikian, bilangan bulat ganjil dapat dinyatakan dengan 2k + 1; misalnya, 11 = 2.5 + 1, dan 17 = 2.8 + 1.
Bilangan bulat positif, terkecuali bilangan bulat positif 1, dibagi atas dua macam, yaitu bilangan komposit dan bilangan prima,  Bilangan komposit, ialah bilangan bulat positif, yang dapat dinyatakan sebagai produk dua bilangan atau lebih, yang masing-masing merupakan bilangan bulat positif yang bukan 1. Jadi, semua bilangan bulat genap positif, yang lebih besar dari 2, adalah bilangan komposit. Misalnya 2, 4, 6, 9, dan 12 adalah komposit, karena 4 = 2 x 2; 6 = 2 x 3; 9 = 3 x  3 dan 12 = 2 x 2 x 3
Bilangan bulat positif yang lain, kecuali bilangan 1, adalah bilangan prima. Bilangan prima dapat dinyatakan sebagai produk bilangan 1 dengan bilangan 2, atau dengan bilangan bulat positif ganjil yang bukan 1. Misalnya 2, 3, 5 dan 7 adalah bilangan prima, sebab 2 = 2 x 1; 3 = 3 x 1;     5 = 5 x 1; dan 7 = 7 x 1

2.3 Bilangan Rasional
Bilangan Pecahan
      Pada dasarnya bilangan pecahan adalah bilangan yang dibutuhkan untuk mengukur ukuran yang lebih kecil dari 1. Sebuah pecahan adalah hasil bagi sebuah pembagian; bilangan yang dibagi disebut pembilang dan pembaginya disebut penyebut. Kedua pecahan atau lebih disebut senama, jika memiliki penyebut yang sama misalnya 2/7, 9/7, 11/7. Dua  pecahan atau lebih disebut taksenama, jika tidak memiliki penyebut yang sama misalnya 2/13, 9/3, 11/8 Semua contoh diatas disebut pecahan positif. Pada mulanya pecahan positiflah yang dikenal orang, kemudian menyusul pecahan negative. Suatu pecahan disebut pecahan persepuluh, jika penyebutnya satu pangkat bilangan sepuluh, misalnya 7/10, 24/100, 368/1000 Pecahan persepuluhan ini dapat pula ditulis sebagai berikut: 0,7; 0,24; dan 0,368 yang disebut juga pecahan decimal. Suatu pecahan biasa, misalnya 3/4 dapat diubah menjadi pecahan decimal dengan jalan membagi pembilang dengan penyebutnya. Jadi , 3 dibagi dengan 4 dan diperoleh 0,75. Untuk mengubah 3/8 menjadi pecahan decimal, kita bagi 3 dengan 8 dan didapat 0,375. Adakalanya pembagian yang kita lakukan itu menghasilkan angka yang terbatas banyaknya, tetapi adapula yang tanpa akhir misalnya: 1/3 = 0.33333333…… pecahan  decimal seperti 0,33333…. Disebut decimal berulang.

Himpunan Bilangan Rasional
      Apabila himpunan bilangan bulat kita gabungkan dengan himpunan bilangan pecahan, terbentuklah suatu himpunan baru, yang kita namai himpunan bilangan rasional.
      Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b( b tidak samadengan 0, a,b bulat). Dapat dibuktikan bahwa tiap pecahan decimal berulang merupakan bilangan rasional. Jika untuk setiap a, b anggota B maka a/b anggota B ( B = himpunan bilangan bulat ), berarti a habis dibagi dengan b. Jika a/b anggota B, maka ada dua kemungkinan: a/b lebih besar 1, atau a/b lebih kecil 1.
      Jadi jika a anggota B, maka a adalah bilangan rasional, tetapi jika b anggota Ra ( Ra = himpunan bilangan rasional ), maka b belum tentu bilangan bulat. Sifat dasar yang terdapat pada himpunan bilangan bulat, semuanya berlaku untuk himpunan bilangan rasional dengan beberapa tambahan.
      Untuk semua bilangan x, y dalam himpunan bilangan rasional, maka x + y, x – y, x.y, dan x/y (y tidak samadengan 0) adalah dalam himpunan bilangan rasional.

2.4 Bilangan Irasional
Himpunan Bilangan Irasional
      Telah kita ketahui, bahwa himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan oleh decimal berulang. Jadi tiap bilangan rasional dapat dinyatakan oleh sebuah decimal berulang, dan tiap decimal berulang menyatakan sebuah bilangan rasional. Tetapi ada pula decimal yang tak berulang, misalnya, 1,01001000100001, dimana terdapat satu 0 lebih banyak di belakang dari pada di depan 1. Contoh lain, e = 2.71828… ( e bilangan pokok logaritma asli ); π = 3,141592653589…,; akar 2 = 1,414213…; ( lambang √ disebut akar ). Demikian pula bilangan  seperti 1+√2, 3+√2, 4√2√3√4, dan √5, dapat diubah menjadi decimal yang tak berulang. Himpunan bilangan seperti ini disebut himpunan irasional.
      Himpunan bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai a/b (a,b bulat dan b tidak samadengan 0 ) disebut himpunan bilangan irasional. Himpunan bilangan yang terdiri dari desimmal tak berulang.
      Dalam hal ini kita menghadapa lambing baru, seperti, √2√3√5, dan √7. Telah pula dikatakan bahwa akar-akar tersebut dapat diubah menjadi decimal yang takberulang. Selanjutnya bahwa himpunan bilangan seperti ini disebut himpunan bilangan irasional, salah satu lambang itu telah diganti dengan lambang lain, yaitu 1.414213… lambang √2 jelas berbeda dari lambing 1,414213… ini? Sebelum menjawab pertanyaan diatas, ada baiknya kita mundur selangkah dengan terlebih dahulu memperkenalkan suatu lambing lain yaitu an.
      Jika a dan n bilangan aslu, maka an berarti axaxa…xa dengan n factor, jadi an = axaxa…xa (n faktor a). dalam lambing an (dibaca a pangkat n), a disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen.
Contoh:
22 = 2x2 = 4 dibaca 2 pangkat 2 sama dengan 4
23 = 2x2x2 = 8
24 = 2x2x2x2 = 16
32 = 3x3 = 9
33 = 3x3x3 = 27
Untuk setiap b anggota N, ab = ba, jika dan hanya jika a = b, pada umumnya  atidak samadengan ba


2.5 Bilangan Real
Himpunan Bilangan Real
      Telah kita ketahui ada dua jenis bilangan, yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.apakah nama kedua jenis bilangan ini?. Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional membentuk himpunan baru yang disebut himpunan bilangan real.
      Atau himpunan bilangan yang dapat dinyatakan oleh decimal disebut himpunan bilangan real.
      Akibat defenisi di atas adalah sebuah bilangan real adalah rasional atau irasional bergantung apakah desimalnya berulang atau tidak himpunan bilangan real dapat ditulis sebagai R = {x|- ~ < x < ~).

2.6 Bilangan Kompleks
Bilangan Imajiner
      Telah kita ketahui akar pangkat 3 dari -8 adalah -2. Tetapi bagaimana dengan √-4? Adakah suatu bilangan yang, jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan -4? Dalam sistem bilangan real tidak ada bukan -2 bukan pula +2 hasilnya. Operasi untuk menarik akar pangkat genap dari pada bilangan negative mengharuskan kita menentukan himpunan bilangan yang baru, yang kita sebut bilangan imajiner. Itu adalah suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan bilangan negative. Satuan bilangan imajiner itu dinyatakan dengan huruf i.
Contoh:
i = √-1
i2 = -1
i3 = i2 x i = -i x i = -i
i4 = (i2)2 = (-i)2 = 1
i5 = i4 x I = 1 x I = i

Bilangan Kompleks
      Kombinasi bilangan imajiner dan bilangan real disebut bilangan kompleks misalnya, 4+3i, -4√2+2i, 7-3i.
a+bi dan a-bi disebut bersekawan a dan b real.
a+bi da  -a-bi disebut berlawanan.
a disebut bagian real
b disebut bagian imajiner
persamaan kuadrat yang diskriminnnya negative, kedua akarnya ialah bilangan kompleks bersekawan. 
Contoh:
Sederhanakanlah i5 + 3i4 – 5i3 + 6i2 – 3i
Jawab
i5 + 3i4 – 5i3 + 6i2 – 3i = i + 3 + 5i – 6 – 3i = -3 + 3i


KESIMPULAN
Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif, dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Bilangan bulat adalah bilanagan asli termasuk 0 baik yang bertanda negatif maupun positif.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b ( b tidak samadengan 0, a,b bulat).
Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional membentuk himpunan baru yang disebut himpunan bilangan real.
Kombinasi bilangan imajiner dan bilangan real disebut bilangan kompleks

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar